量子纠错码简介
时间： 2022年01月02日
摘要： 开头从经典纠错编码的一个例子过度到量子纠错编码。分类讨论了 X X X Z Z Z
主讲人: 黄金龙，UCSD在读博士生
主要研究领域: 量子信息和多体系统
记录人： 黄清扬；庄嘉培
[TOC]
从经典编码到量子编码
量子编码理论
Calderbank-Shor-Steane编码 (CSS)
稳定子编码
容错量子计算
经典编码有Hamming码等纠错编码，这里为了好理解，只介绍重复码
假如小华要传递一个比特的信息(0或1)给小强，但是传输过程信息可能发生错误
为了纠错，我们可以用重复码 (repetition code)的方式，例如，一个比特的信息 B = { 0 , 1 } B =\{0,1\} B = { 0 , 1 } C 3 = { 0 0 0 , 1 1 1 } C_{3}=\{000,111\} C 3 = { 0 0 0 , 1 1 1 }
0 → 0 0 0 0 \rightarrow 000 0 → 0 0 0 1 → 1 1 1 1 \rightarrow 111 1 → 1 1 1
传输： 然后我们把3个位的信息分离，防止被一锅端。等到需要读取的时候把3个集中在一起。
解码原则 ：服从多者
如果只发生一个物理比特错误翻转，那就可以纠错回来正确信息。
如果发生太多错误，就没办法纠错回来，所以纠错成功是有一定的概率的。
纠错成功的概率
其中一个物理比特发生错误的概率是 p p p
比特中两个或多个被翻转的概率为
p e = 3 p 2 ( 1 − p ) + p 3
p_{e}=3 p^{2}(1-p)+p^{3}
p e = 3 p 2 ( 1 − p ) + p 3
量子不可克隆定理 (No cloning theorem)
连续误差
读取计算结果需要测量，但是测量会破坏量子态
什么是克隆量子态
对于任意量子态 ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩ U U U U ( ∣ ϕ ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ) = ∣ ϕ ⟩ ⊗ ∣ ϕ ⟩
U(|\phi\rangle \otimes|0\rangle)=|\phi\rangle \otimes|\phi\rangle
U ( ∣ ϕ ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ) = ∣ ϕ ⟩ ⊗ ∣ ϕ ⟩ ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣ 0 ⟩ ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩
不可克隆定理：不存在上述的克隆机器(幺正变换 U U U
介绍一种量子错误的类型，比特翻转错误(Bit flip error)
补充
对比量子比特的相干错误(coherent error)都可以分解成
> U ( δ θ , δ ϕ ) ∣ ψ ⟩ = α I 1 ∣ ψ ⟩ + α X X ∣ ψ ⟩ + α Z Z ∣ ψ ⟩ + α X Z X Z ∣ ψ ⟩ >
> U(\delta \theta, \delta \phi)|\psi\rangle=\alpha_{I} 1 |\psi\rangle+\alpha_{X} X|\psi\rangle+\alpha_{Z} Z|\psi\rangle+\alpha_{X Z} X Z|\psi\rangle
> > U ( δ θ , δ ϕ ) ∣ ψ ⟩ = α I 1 ∣ ψ ⟩ + α X X ∣ ψ ⟩ + α Z Z ∣ ψ ⟩ + α X Z X Z ∣ ψ ⟩ >
就可以处理相干错误
比特翻转错误(Bit flip error)
a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 1 ⟩ + b ∣ 0 ⟩ )
a|0\rangle+b|1\rangle \rightarrow a|1\rangle+b|0\rangle)
a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 1 ⟩ + b ∣ 0 ⟩ )
又叫X X X X X X ∣ ψ ⟩ → X ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle \rightarrow X|\psi\rangle ∣ ψ ⟩ → X ∣ ψ ⟩
设发生翻转的概率是 p p p
∣ 0 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ≡ ∣ 0 0 0 ⟩ ∣ 1 ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ ∣ 1 1 1 ⟩
\begin{aligned}
|0\rangle & \rightarrow\left|0_{L}\right\rangle \equiv|000\rangle \\
|1\rangle & \rightarrow\left|1_{L}\right\rangle \equiv|111\rangle
\end{aligned}
∣ 0 ⟩ ∣ 1 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ≡ ∣ 0 0 0 ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ ∣ 1 1 1 ⟩
一个任意量子比特编码下 a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 0 0 0 ⟩ + b ∣ 1 1 1 ⟩ a|0\rangle+b|1\rangle \rightarrow a|000\rangle+b|111\rangle a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 0 0 0 ⟩ + b ∣ 1 1 1 ⟩
编码用的量子线路
收到信息之后，我们需要根据测量来判断信息是否发生错误（这里假设错误不超过一个量子比特）
对于比特翻转信道, 对应于四个投影算子, 可有四种差错症状(error syndrome):
P 0 ≡ ∣ 0 0 0 ⟩ ⟨ 0 0 0 ∣ + ∣ 1 1 1 ⟩ ⟨ 1 1 1 ∣ 没有差错 P 1 ≡ ∣ 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 ∣ + ∣ 0 1 1 ⟩ ⟨ 0 1 1 ∣ 第一量子比特上比特翻转 P 2 ≡ ∣ 0 1 0 ⟩ ⟨ 0 1 0 ∣ + ∣ 1 0 1 ⟩ ⟨ 1 0 1 ∣ 第二量子比特上比特翻转 P 3 ≡ ∣ 0 0 1 ⟩ ⟨ 0 0 1 ∣ + ∣ 1 1 0 ⟩ ⟨ 1 1 0 ∣ 第三量子比特上比特翻转
\begin{array}{ll}P_{0} \equiv|000\rangle\langle 000|+| 111\rangle\langle 111| & \text { 没有差错 } \\ P_{1} \equiv|100\rangle\langle 100|+| 011\rangle\langle 011| & \text { 第一量子比特上比特翻转 } \\ P_{2} \equiv|010\rangle\langle 010|+| 101\rangle\langle 101| & \text { 第二量子比特上比特翻转 } \\ P_{3} \equiv|001\rangle\langle 001|+| 110\rangle\langle 110| & \text { 第三量子比特上比特翻转 }\end{array}
P 0 ≡ ∣ 0 0 0 ⟩ ⟨ 0 0 0 ∣ + ∣ 1 1 1 ⟩ ⟨ 1 1 1 ∣ P 1 ≡ ∣ 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 ∣ + ∣ 0 1 1 ⟩ ⟨ 0 1 1 ∣ P 2 ≡ ∣ 0 1 0 ⟩ ⟨ 0 1 0 ∣ + ∣ 1 0 1 ⟩ ⟨ 1 0 1 ∣ P 3 ≡ ∣ 0 0 1 ⟩ ⟨ 0 0 1 ∣ + ∣ 1 1 0 ⟩ ⟨ 1 1 0 ∣ 没有差错 第一量子比特上比特翻转 第二量子比特上比特翻转 第三量子比特上比特翻转 a ∣ 1 0 0 ⟩ + b ∣ 0 1 1 ⟩ a|100\rangle+b|011\rangle a ∣ 1 0 0 ⟩ + b ∣ 0 1 1 ⟩ ⟨ ψ ∣ P 1 ∣ ψ ⟩ = 1 \left\langle\psi\left|P_{1}\right| \psi\right\rangle=1 ⟨ ψ ∣ P 1 ∣ ψ ⟩ = 1
差错症状测量不会引起状态的任何改变（在差错症状测量之前和之后的状态都为 a ∣ 1 0 0 ⟩ + b ∣ 0 1 1 ⟩ a|100\rangle+b|011\rangle a ∣ 1 0 0 ⟩ + b ∣ 0 1 1 ⟩
差错症状测量不包含所被保护状态的信息 (比如量子态中的. a a a b b b
检测到错误，怎么恢复到正确的量子比特？
以相位错误(Phase flip error)为例
a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 0 ⟩ − b ∣ 1 ⟩ )
a|0\rangle+b|1\rangle \rightarrow a|0\rangle-b|1\rangle)
a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ → a ∣ 0 ⟩ − b ∣ 1 ⟩ ) Z Z Z ∣ ψ ⟩ → Z ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle \rightarrow Z|\psi\rangle ∣ ψ ⟩ → Z ∣ ψ ⟩
用状态 ∣ 0 L ⟩ \left|0_{L}\right\rangle ∣ 0 L ⟩ ∣ 1 L ⟩ \left|1_{L}\right\rangle ∣ 1 L ⟩ ∣ 0 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ≡ ∣ + + + ⟩ ∣ 1 ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ ∣ − − − ⟩
\begin{aligned}|0\rangle & \rightarrow\left|0_{L}\right\rangle \equiv|+++\rangle \\|1\rangle & \rightarrow\left|1_{L}\right\rangle \equiv|---\rangle \end{aligned}
∣ 0 ⟩ ∣ 1 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ≡ ∣ + + + ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ ∣ − − − ⟩
∣ + ⟩ ≡ ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 , ∣ − ⟩ ≡ ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) / 2 |+\rangle \equiv(|0\rangle+|1\rangle) / \sqrt{2},|-\rangle \equiv(|0\rangle-|1\rangle) / \sqrt{2} ∣ + ⟩ ≡ ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 , ∣ − ⟩ ≡ ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) / 2
为了转换到新基底，在纠错过程的适当位置上应用 Hadamard 门，如图
前面说了对于一种类型的错误怎么编码纠错，如果同时有X X X Z Z Z
把前面讨论的两个方案结合起来
编码
∣ 0 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ≡ ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) 2 2 ∣ 1 ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) 2 2 .
\begin{aligned}
|0\rangle \rightarrow\left|0_{L}\right\rangle & \equiv \frac{(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)}{2 \sqrt{2}} \\
|1\rangle \rightarrow\left|1_{L}\right\rangle &\equiv \frac{(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)}{2 \sqrt{2}} .
\end{aligned}
∣ 0 ⟩ → ∣ 0 L ⟩ ∣ 1 ⟩ → ∣ 1 L ⟩ ≡ 2 2 ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ + ∣ 1 1 1 ⟩ ) ≡ 2 2 ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) ( ∣ 0 0 0 ⟩ − ∣ 1 1 1 ⟩ ) .
前半部分是相位翻转错误(Phase flip error)对应的编码方式
后半部分是比特翻转错误(Bit flip error)对应的编码方式
量子态 ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩
编码后的信息经过有噪声(noise)的通道
使用syndrome测量
恢复到原来的量子态 ∣ ϕ ⟩ |\phi\rangle ∣ ϕ ⟩
什么是一个好的量子编码，我们要求
( R ∘ ε ) ( ρ ) ∝ ρ
( R \circ \varepsilon )(\rho) \propto \rho
( R ∘ ε ) ( ρ ) ∝ ρ
ε \varepsilon ε R R R
方程中写为“ ∝ \propto ∝ = = =
如果 ε \varepsilon ε = = =
感兴趣于纠错的非保迹量子运算如测量, 对这种情形取 “ ∝ \propto ∝
量子编码中 Hilbert 空间的封装:
(a) 坏码, 具有非正交的、变形的空间;
(b) 好码，具有正交的、保形的空间.
C C C 令 P P P C C C
设 ε \varepsilon ε { E i } \left\{E_{i}\right\} { E i }
则纠正 C C C ε \varepsilon ε R R R α \alpha α P E i † E j P = α i j P
P E_{i}^{\dagger} E_{j} P=\alpha_{i j} P
P E i † E j P = α i j P
量子纠错编码有两种常见的方式
Calderbank-Shor-Steane编码 (CSS)
稳定子编码
先讲CSS编码
对于向量 e ∈ F 2 n e \in F _{2}^{n} e ∈ F 2 n X e = X e 1 ⊗ X e 2 ⋯ ⊗ X e n
X^{e}=X^{e_{1}} \otimes X^{e_{2}} \cdots \otimes X^{e_{n}}
X e = X e 1 ⊗ X e 2 ⋯ ⊗ X e n
X X X 类似的 Z e = ⊗ i Z e i Z^{e}=\otimes_{i} Z^{e_{i}} Z e = ⊗ i Z e i
泡利算符的矩阵形式
X = ( 0 1 1 0 ) , Z = ( 1 0 0 − 1 )
X=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), Z=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
X = ( 0 1 1 0 ) , Z = ( 1 0 0 − 1 )
那么 e = [ 1 , 0 , 0 ] e =[1,0,0] e = [ 1 , 0 , 0 ]
X e = X ⊗ I ⊗ I
X^{e}= X \otimes I \otimes I
X e = X ⊗ I ⊗ I
定义在 n n n C ⊆ H = ( C 2 ) ⊗ n
C \subseteq H =\left( C ^{2}\right)^{\otimes n}
C ⊆ H = ( C 2 ) ⊗ n C C C S x , S z ⊆ F 2 n S_{x}, S_{z} \subseteq F _{2}^{n} S x , S z ⊆ F 2 n S x ⊥ S z S_{x} \perp S_{z} S x ⊥ S z { ∣ ψ ⟩ ∈ ( C 2 ) ⊗ n ∣ X x ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩ ∀ x ∈ S x , Z z ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩ ∀ z ∈ S z }
\left.\left\{|\psi\rangle \in\left( C ^{2}\right)^{\otimes n}\left|X^{x}\right| \psi\right\rangle=|\psi\rangle \forall x \in S_{x}, Z^{z}|\psi\rangle=|\psi\rangle \forall z \in S_{z}\right\}
{ ∣ ψ ⟩ ∈ ( C 2 ) ⊗ n ∣ X x ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩ ∀ x ∈ S x , Z z ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩ ∀ z ∈ S z }
就是前面讲过的
S = ⟨ Z 1 Z 2 , Z 2 Z 3 ⟩ V S = span { ∣ 0 0 0 ⟩ , ∣ 1 1 1 ⟩ } .
\begin{array}{l}
S =\left\langle Z_{1} Z_{2}, Z_{2} Z_{3}\right\rangle \\
V_{S}=\operatorname{span}\{|000\rangle,|111\rangle\} .
\end{array}
S = ⟨ Z 1 Z 2 , Z 2 Z 3 ⟩ V S = span { ∣ 0 0 0 ⟩ , ∣ 1 1 1 ⟩ } .
也是前面讲过的Shor code
在甜甜圈形状的空间中定义晶格
每条晶格线上方一个自旋
定义算符 v v v
定义算符 p p p
子空间的4个基底向量
S = ⟨ − ∏ i ∈ v Z i , − ∏ i ∈ p X i , ∀ v , p ⟩
S =\left\langle-\prod_{i \in v} Z_{i},-\prod_{i \in p} X_{i}, \forall v, p\right\rangle
S = ⟨ − i ∈ v ∏ Z i , − i ∈ p ∏ X i , ∀ v , p ⟩
V S = span { ∣ Ψ 1 ⟩ , ∣ Ψ 2 ⟩ , ∣ Ψ 3 ⟩ , ∣ Ψ 4 ⟩ }
V_{S}=\operatorname{span}\left\{\left|\Psi_{1}\right\rangle,\left|\Psi_{2}\right\rangle,\left|\Psi_{3}\right\rangle,\left|\Psi_{4}\right\rangle\right\}
V S = span { ∣ Ψ 1 ⟩ , ∣ Ψ 2 ⟩ , ∣ Ψ 3 ⟩ , ∣ Ψ 4 ⟩ }
其中
∣ Ψ 1 ⟩ = ∑ ∣ \left|\Psi_{1}\right\rangle=\sum \mid ∣ Ψ 1 ⟩ = ∑ ∣ ⟩ \rangle ⟩ ∣ Ψ 2 ⟩ , ∣ Ψ 3 ⟩ , ∣ Ψ 4 ⟩ \left|\Psi_{2}\right\rangle,\left|\Psi_{3}\right\rangle,\left|\Psi_{4}\right\rangle ∣ Ψ 2 ⟩ , ∣ Ψ 3 ⟩ , ∣ Ψ 4 ⟩ ∣ Ψ 1 ⟩ \left|\Psi_{1}\right\rangle ∣ Ψ 1 ⟩
稳定子编码是CSS编码的推广。用单量子比特定义一个泡利群
G 1 ≡ { ± I , ± i I , ± X , ± i X , ± Y , ± i Y , ± Z , ± i Z }
G_{1} \equiv\{\pm I, \pm i I, \pm X, \pm i X, \pm Y, \pm i Y, \pm Z, \pm i Z\}
G 1 ≡ { ± I , ± i I , ± X , ± i X , ± Y , ± i Y , ± Z , ± i Z } n n n G n = { e i ϕ A 1 ⊗ ⋯ ⊗ A n ∣ A j ∈ G 1 ∀ j ∈ { 1 , … , n } , ϕ ∈ { 0 , π / 2 , π , 3 π / 2 } }
G_{n}=\left\{e^{i \phi} A_{1} \otimes \cdots \otimes A_{n} \mid A_{j} \in G_{1} \forall j \in\{1, \ldots, n\}, \phi \in\{0, \pi / 2, \pi, 3 \pi / 2\}\right\}
G n = { e i ϕ A 1 ⊗ ⋯ ⊗ A n ∣ A j ∈ G 1 ∀ j ∈ { 1 , … , n } , ϕ ∈ { 0 , π / 2 , π , 3 π / 2 } } [ n , k ] [n, k] [ n , k ] n n n k k k
稳定子 S S S G n G_{n} G n
编码空间 V S V_{S} V S S S S + 1 +1 + 1
5个物理比特，4个约束，所以定义出的子空间是2维的
X Z Z X I I X Z Z X X I X Z Z Z X I X Z
\begin{array}{l}
X Z Z X I \\
I X Z Z X \\
X I X Z Z \\
Z X I X Z
\end{array}
X Z Z X I I X Z Z X X I X Z Z Z X I X Z
符合以下条件的量子计算，可以在经典计算机上有效地模拟.
计算基中的状态制备
只有Hadamard 门、相位门、受控非门、Pauli 门
Pauli 群中观测量的测量
允许以这样测量的结果为条件的经典控制
Fault-tolerant quantum computation
错误发生的地方
制备量子态的时候
门操作的时候
传输的时候
测量的时候
所以需要对所有过程都要编码
什么是可容错的？
定义一个过程的容错性具有这样一个性质, 如果过程中只有一个元件失 效, 那么失效在过程的每个编码后量子比特输出块中最多只引起一个差错.
例如图中7个量子比特的线路，其中一个比特发生错误
经过编码后门中的任何基本运算，只能一个比特发生错误，这种错误不能扩散
如果每个错误的概率低于一个值 p < p th p<p_{\text {th }} p < p th
一个包含 p ( n ) p(n) p ( n )
要让发生错误的概率最多为 ϵ \epsilon ϵ O ( poly ( log p ( n ) / ϵ ) p ( n ) )
O(\operatorname{poly}(\log p(n) / \epsilon) p(n))
O ( poly ( log p ( n ) / ϵ ) p ( n ) )
Toric code只在绝对零度下有效
非零度温度下，并且是2维的情况，是否稳定子可以纠错任意错误的发生？没有
Toric code如果是用超导平台实现，很难定义在Toric形状上，也就是周期性边界条件(PBC)。如果是定义在平面上，可以对应到Surface code
对BQP(有限错误量子多项式时间bounded error quantum polynomial time)里面的问题，存在一个使用量子电脑的算法（量子算法）花费多项式时间运作，并且有很高的几率回答正确的答案。对任何状况，回答错误答案的几率小于三分之一。
[1] Nielsen, Michael A., and Isaac Chuang. "Quantum computation and quantum information." (2002): 558-559
This slide mainly follows Chapter 10 of [1].
[2] Roffe, Joschka. "Quantum error correction: an introductory guide." Contemporary Physics 6 0 . 3 60.3 6 0 . 3
[3] Breuckmann, Nikolas P., and Jens Niklas Eberhardt. "LDPC Quantum Codes." arXiv preprint arXiv:2103.06309 (2021).
